So funktioniert die Berechnung mit dem dreieck-rechner
Ein Dreieck ist eindeutig bestimmt, sobald du drei Werte kennst — darunter mindestens eine Seite. Die vier Standardfälle:
- SSS: drei Seiten → Winkel über den Kosinussatz, Fläche über Heron.
- SWS: zwei Seiten + eingeschlossener Winkel → dritte Seite über Kosinussatz.
- WSW: eine Seite + zwei Winkel → dritter Winkel über 180° − α − β, Rest über Sinussatz.
- SsW: zwei Seiten + Gegenwinkel der längeren Seite → Sinussatz (Achtung: kann zweideutig sein, siehe Sonderfälle).
Der wichtigste Spezialfall: das rechtwinklige Dreieck. Hat ein Winkel 90°, heißen die beiden kurzen Seiten Katheten (a, b) und die lange Seite Hypotenuse (c).
Dann gilt der Satz des Pythagoras: a² + b² = c². Daraus folgt c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), b = √(c² − a²).
Die Fläche ist besonders einfach: A = ½ × a × b — das halbe Kathetenprodukt. Die spitzen Winkel folgen aus der Trigonometrie: α = arctan(a/b), β = 90° − α.
Die Fläche allgemein. Für jedes Dreieck gilt A = ½ × Grundseite × zugehörige Höhe. Kennst du nur die drei Seiten, nutzt der Rechner die Heronsche Formel: s = (a + b + c)/2, A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Bei zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel: A = ½ × a × b × sin(γ).
Die Winkel. In jedem ebenen Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme 180°: α + β + γ = 180°. Kennst du zwei Winkel, ist der dritte sofort klar — ganz ohne Trigonometrie. Aus drei Seiten rechnet der Rechner: cos(α) = (b² + c² − a²)/(2bc).
Was ändert sich 2026 / 2027?
Nichts an den Formeln. Der Satz des Pythagoras ist über 2.500 Jahre alt, die Winkelsumme von 180° und die Flächenformel sind mathematische Gewissheiten — keine Reform, kein Gesetz und kein Lehrplan ändert daran etwas, weder 2026 noch 2027.
Was sich ändern kann, ist nur der Kontext deiner Aufgabe: neue Schulbücher formulieren anders, aber a² + b² = c² bleibt a² + b² = c². Nutze den Rechner als Kontrolle deines Rechenwegs — in der Prüfung musst du die Sätze selbst anwenden können. Für vertiefende Berechnungen können Sie direkt den Kreis-Rechner heranziehen.
Beispielrechnung
Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 6 cm und b = 8 cm. Gesucht: Hypotenuse, Fläche, Umfang und die beiden spitzen Winkel.
Schritt 1 — Hypotenuse (Pythagoras): c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = √100 = 10 cm.
Schritt 2 — Fläche: A = ½ × 6 × 8 = 24 cm².
Schritt 3 — Umfang: U = 6 + 8 + 10 = 24 cm.
Schritt 4 — Winkel: α = arctan(6/8) = arctan(0,75) ≈ 36,87°. β = 90° − 36,87° = 53,13°. Probe: 36,87 + 53,13 + 90 = 180 ✓.
Ergebnis: c = 10 cm, A = 24 cm², U = 24 cm, α ≈ 36,87°, β ≈ 53,13°.
Praxis-Eselsbrücke: 6-8-10 ist das Doppelte des Tripels 3-4-5. Handwerker nutzen die 3-4-5-Regel, um rechte Winkel abzustecken: 3 m in die eine, 4 m in die andere Richtung — bei exakt 5 m Diagonale steht die Ecke im rechten Winkel.
Typische Fehler
- Pythagoras am falschen Dreieck. a² + b² = c² gilt nur mit einem 90°-Winkel.
Ohne rechten Winkel brauchst du den Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). 2.
Hypotenuse falsch identifiziert. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Wer eine Kathete für c hält, rechnet c = √(a² + b²) mit falschen Werten. 3.
Grad und Bogenmaß verwechselt. Taschenrechner im RAD-Modus liefern bei arctan(0,75) etwa 0,6435 statt 36,87° — prüfe vor jeder Winkelrechnung die Einstellung DEG.
- Falsche Höhe zur Grundseite.
Die Höhe muss senkrecht auf genau der Grundseite stehen, mit der du multiplizierst. Nur im rechtwinkligen Dreieck darfst du einfach die beiden Katheten nehmen.
Winkelsumme nicht zur Kontrolle genutzt. α + β + γ müssen 180° ergeben — diese eine Addition entlarvt fast jeden Rechenfehler sofort.
Einheiten gemischt.
Seiten in cm, Höhe in m: Erst alles auf eine Einheit bringen (z. B. mit dem Einheiten-Rechner unter /einheiten-rechner), dann rechnen — sonst ist die Fläche um den Faktor 10.000 falsch.
Sonderfälle / Ausnahmen
Gleichseitiges Dreieck. Alle Seiten gleich (a), alle Winkel 60°. Die Höhe teilt die Grundseite: h = √(a² − (a/2)²) = (√3/2)·a ≈ 0,866·a. Fläche: A = (√3/4)·a² ≈ 0,433·a². Beispiel: a = 10 cm → h ≈ 8,66 cm, A ≈ 43,3 cm². Inkreisradius r = a·√3/6, Umkreisradius R = a·√3/3 = 2r. Zur optimalen Gesamtplanung empfiehlt sich ergänzend unser praktischer Einheiten-Rechner.
Gleichschenkliges Dreieck. Zwei Seiten gleich; die Höhe auf die Basis halbiert sie: h = √(a² − (b/2)²) mit Schenkel a und Basis b, dann A = ½·b·h.
Satz des Thales. Liegt eine Dreieckseite als Durchmesser auf einem Kreis und der dritte Punkt auf dem Kreis, ist der Winkel am dritten Punkt immer 90°.
Umgekehrt: Jedes rechtwinklige Dreieck passt mit seiner Hypotenuse als Durchmesser in einen Kreis (Thaleskreis) — praktisch, um rechte Winkel zu konstruieren.
Dreiecksungleichung. Nicht jede Dreierkombi ergibt ein Dreieck: Es muss a + b > c, a + c > b und b + c > a gelten. 2, 3 und 10 cm bilden kein Dreieck — der Rechner meldet solche Eingaben als unmöglich statt zu fantasieren.
SsW-Zweideutigkeit. Bei zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel kann es zwei verschiedene Dreiecke geben (der „Kongruenzfall mit zwei Lösungen"). Der Rechner zeigt beide, wenn sie existieren.
Was bedeutet das Ergebnis für dich?
Du erhältst das komplette Dreieck: alle Seiten, alle Winkel, Fläche und Umfang — plus den Rechenweg, damit du nachvollziehen kannst, welcher Satz wo gegriffen hat. Für Hausaufgaben heißt das: Ergebnis kontrollieren, Rechenweg verstehen, dann selbst aufschreiben.
Im Handwerk nutzt du vor allem zwei Dinge: die 3-4-5-Regel zum Abstecken rechter Winkel und die Flächenformel für Material (z. B. Dreiecksflächen beim Dach). Misst du Seiten in verschiedenen Einheiten, rechne sie vorher einheitlich um — der Einheiten-Rechner unter /einheiten-rechner übernimmt das.
Und wenn als Nächstes ein Kreis ansteht (Rohrquerschnitt, runde Fläche): Dafür ist der Kreis-Rechner unter /kreis-rechner zuständig, sobald er live ist.